Треугольник равнобедренный рисунок: Равнобедренный треугольник. Свойства, Признаки, Высота

Найти угол D.

Решение. Рассмотрим треугольники ABC и ADC. Они равны по третьему признаку (АВ = DC, ВС = AD по условию и сторона АС — общая). Из равенства этих треугольников следует, что ∠ В = ∠ D, но угол В равен 100°, значит, и угол D равен 100°.

Пример 5. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ABC . Ответ дайте в градусах.

Видео-решение.

Если в треугольнике два угла равны

Теорема (Признак равнобедренного треугольника)

Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.

Дано:

∆ ABC,

∠A=∠B

Доказать:

∆ ABC — равнобедренный.

Доказательство:

Проведем биссектрису CF.

Рассмотрим треугольники ACF и BCF.

1) ∠ACF=∠BCF (так как CF — биссектриса (по построению))

2) CF — общая сторона

∠A=∠B (по условию)

Сумма углов треугольника равна 180º.

В треугольнике ACF

∠AFC=180º — (∠A+∠ACF).

В треугольнике BCF

∠BCF =180º — (∠B+∠BCF).

Из 180º вычли сумму равных углов. Получили равные углы:

Таким образом, имеем:

3)∠AFC=∠BFC.

Следовательно, ∆ACF = ∆BCF (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AC=BC.

Значит, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB (по определению равнобедренного треугольника).

Что и требовалось доказать.

Данный признак равнобедренного треугольника можно доказать другими способами.

2 способ

Рассмотрим треугольники ABC и BAC.

(это — два разных треугольника. Подробнее — смотрите «Два треугольника равны«)

1) AB=BA (по условию)

2) ∠A=∠B (по условию)

3) ∠B =∠A (по условию)

Следовательно, ∆ACF = ∆BCF (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AC=BC.

Вывод: ∆ ABC — равнобедренный с основанием AB.

3 способ

По соотношениям между углами треугольника и противолежащими сторонами, в треугольнике против б’ольшего угла лежит б’ольшая сторона. Следствие: против равных углов лежат равные стороны. Таким образом,  если в треугольнике два угла равны, то лежащие напротив этих углов стороны тоже равны, а значит, треугольник — равнобедренный.

Медиана треугольника является его биссектрисой

Выясним, какой вывод следует из того, что медиана треугольника является его биссектрисой?

Утверждение.

Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник — равнобедренный.

  Дано:

∆ ABC,

CK — медиана и биссектриса

Доказать:

∆ ABC — равнобедренный.

Проведем анализ задачи.

На основе каких данных можно утверждать, что треугольник — равнобедренный? Если у него две стороны равны либо два угла равны. Значит, нам нужно доказать либо равенство сторон AC и BC, либо равенство углов A и B. Любое из этих равенств следует из равенства треугольников.

В треугольниках AKC и BKC биссектриса CK образует равные углы ACK и BCK, медиана CK — равные отрезки AK и BK. Сторона  CK — общая.

Что мы имеем? Две стороны, но нет угла между ними. Ни к одной из сторон нет двух прилежащих углов. Признаки равенства треугольников применить не можем.

В таком случае придется выполнять дополнительные построения.

 На луче CK отложим отрезок KE так, чтобы KE=CK, и точки A и E соединим отрезком. Получили еще один треугольник AKE.

Мы можем доказать, что этот треугольник равен треугольнику BKC (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства этих треугольников следует равенство сторон AE и BC и углов AEK и BCK.

Получается, что в треугольнике ACE имеется два равных угла AEK и ACK. Поэтому он — равнобедренный, откуда легко доказывается и равенство сторон AC и ВС. Осталось записать доказательство.

Доказательство:

На луче CK отложим отрезок KE, KE=CK.

Рассмотрим треугольники AKE и BKC:

1) AK=BK (так как CK — медиана по условию)

2) KE=CK (по построению)

3) ∠AKE=∠BKC (как вертикальные).

Следовательно, ∆ AKE=∆ BKC (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AE=BC и соответствующих углов: ∠AEK=∠BCK.

По условию,  ∠BCK=∠AСK. Поэтому ∠AEK=∠AСK.

Таким образом получили, что в треугольнике ACE два угла равны. Значит, ∆ ACE — равнобедренный с основанием CE (по признаку). Следовательно, его боковые стороны равны: AE=AC.

А поскольку уже доказали, что AE=BC, то и  AС=BС. Поэтому ∆ ABC — равнобедренный с основанием AB (по определению).

Что и требовалось доказать.

Если в треугольнике совпадают медиана и биссектриса, проведенные к каждой из сторон, то такой треугольник — равносторонний (каждые две его стороны равны между собой, значит, равны все три стороны).

§ 2. Признаки равенства треугольников. Равнобедренный треугольник. Прямоугольный треугольник. Теоремы об углах. — ЗФТШ, МФТИ

Для повторения мы выбрали эти темы. Приводить доказательство теорем, содержащихся в учебнике, не будем, лишь напомним основные теоремы. Также обсудим некоторые важные вопросы, приведём примеры решения задач, докажем несколько дополнительных теорем (Всякое утверждение, сформулированное в общем виде и доказанное, есть теорема, но их так много и они часто столь просты, что наполнять ими учебник не имеет смысла, а вот учиться на них применению основных теорем, умению рассуждать, делать выводы, — очень полезно). Такие теоремы мы будем называть леммами.

В учебнике доказаны три признака равенства треугольников.

Первый признак: по двум сторонам и углу между ними.

Второй признак: по стороне и прилежащим к ней углам.

Третий признак: по трём сторонам.

Мы напомнили их краткую формулировку.

Отметим также важный момент.@`, и $$ △KAM=△KBC$$   Делаем вывод:  $$ KC=CM=KM$$ т. е. треугольник $$ KCM$$ – равносторонний.

(В решении использовано утверждение, что все углы равностороннего треугольника равны $$ 60°$$). 

II. Равнобедренный треугольник.

В учебнике доказаны теоремы:

Т1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Т2. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.

Т3. (Признак равнобедренного треугольника). Если два угла в треугольнике равны, то он равнобедренный.

Обратим внимание, что признаком фигуры $$ A$$  называется теорема с формулировкой: «если имеет место … , то это фигура $$ A$$». Сформулируем следующие, часто применяемые в задачах, признаки равнобедренного треугольника:

а) если в треугольнике высота является медианой, то треугольник равнобедренный;

б) если в треугольнике высота является биссектрисой, то треугольник равнобедренный;

в) если в треугольнике медиана является биссектрисой, то треугольник равнобедренный.

Доказательство признака а) вполне простое. Если $$ BD\perp AC$$ и $$ AD=DC$$ (рис. 9), то $$ △ADB=△CDB$$ по двум сторонам ( $$ BD$$ – общая, $$ AD=DC$$) и углу между ними ($$ \angle ADB$$ смежный с $$ \angle BDC=90°$$  поэтому $$ \angle ADB=90°$$ ).

Из равенства треугольников следует $$ AB=BC$$ и треугольник $$ ABC$$ по определению равнобедренный.

Доказательство признака  б) Столь же простое,  докажите  его  самостоятельно.

Докажем признак  в) Пусть в треугольнике $$ ABC$$ биссектриса $$ BM$$ является медианой: $$ AM=MC$$ (рис. 10). На продолжении биссектрисы $$ BM$$ отложим отрезок $$ MD$$ равный $$ BM$$  Треугольники $$ ABM$$ и $$ CDM$$ равны по первому признаку: у них углы при вершине $$ M$$ равны, как вертикальные,  и $$ AM=CM$$, $$ BM=DM$$   Из равенства треугольников следует

$$ CD=AB$$                                                                               (1) 

и $$ \angle CDM=\angle ABM$$. Но $$ \angle ABM=\angle CBM$$ поэтому $$ \angle CDM=\angle CBM$$, т. е.  в  треугольнике $$ BCD$$ углы  при основании $$ BD$$  равны. По признаку Т3 этот треугольник равнобедренный: $$ BC=CD$$ Отсюда и из (1) заключаем: $$ BC=AB$$. Утверждение доказано.

В следующем примере применяются признак параллельности прямых и две теоремы об углах треугольника (и следствия этих теорем):

Т. Сумма углов треугольника равна $$ 180°$$.

Т. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не
смежных с ним.

Точка $$ K$$ лежит на основании $$ AC$$ равнобедренного треугольника $$ ABC$$ ($$ AB=BC$$). Через точку $$ K$$ проведена прямая, пересекающая прямую $$ AB$$ и отрезок $$ BC$$, при этом образовалось два равнобедренных треугольника (рис. 11).

Найти углы треугольника $$ ABC$$.

Решение

Обозначим точки пересечения $$ M$$ и $$ D$$.

1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны и они острые, значит угол $$ MAK$$ – тупой.

2. В треугольнике может быть только один тупой угол, значит, если треугольник $$ MAK$$ равнобедренный, то равными могут быть только углы при вершинах $$ M$$ и $$ K$$. Обозначим их $$ \alpha $$.

3. $$ \angle BAK=2\alpha $$ (как внешний угол треугольника $$ MAK$$), $$ \angle BCA=2\alpha $$ (углы при основании равнобедренного треугольника равны) и $$ \angle DKC=\alpha $$ ($$ \angle DKC=\angle AKM$$ как вертикальные).

Расставим углы.

4. Треугольник $$ KDC$$ по условию равнобедренный. Возможны, вообще говоря, два случая: а) $$ \angle KDC=\alpha $$ и б) $$ \angle KDC=2\alpha $$.

а) Если $$ \angle KDC=\alpha $$, то накрест лежащие углы при секущей $$ MD$$ равны $$ \alpha $$; это по теореме означало бы параллельность прямых $$ MB$$ и $$ CB$$, что противоречит их пересечению. Этот случай невозможен.

б) Если $$ \angle KDC=2\alpha $$, то по теореме о сумме углов треугольника (для треугольника $$ KDC$$) $$ \alpha +2\alpha +2\alpha =180°$$ ,$$ \alpha =36°$$. Находим углы треугольника $$ ABC$$ :$$ \angle A=\angle C=2\alpha =72°$$ , $$ \angle B=180°-2·\angle A=36°$$. 

III. Для прямоугольных треугольников справедливы признаки равенства (их надо уметь доказывать):

1. по двум катетам;

2. по гипотенузе и катету;

3. по гипотенузе и острому углу;

4. по катету и острому углу.

Применяя признаки равенства прямоугольных треугольников, докажем ещё один признак равнобедренного треугольника:

Доказать, что если две высоты треугольника равны, то он равнобедренный.

Решение

Пусть высоты $$ A{A}_{1}$$ и $$ C{C}_{1}$$ треугольника $$ ABC$$ равны друг другу. 

1. (Треугольник остроугольный. Обе высоты внутри треугольника, (рис. 12а). Прямоугольные треугольники $$ A{A}_{1}B$$ и $$ C{C}_{1}B$$ равны по катету ($$ A{A}_{1}=C{C}_{1}$$) и противолежащему острому углу (угол $$ B$$ – общий). Тогда
равны их гипотенузы $$ AB=CB$$, а это и означает, что треугольник $$ ABC$$ равнобедренный.

2. (Треугольник тупоугольник, угол $$ В$$ тупой. Обе высоты вне треугольника, рис. 12б). Прямоугольные треугольники $$ A{A}_{1}B$$ и $$ C{C}_{1}B$$ имеют равные катеты $$ A{A}_{1}=C{C}_{1}$$ и равные противолежащие углы $$ \angle AB{A}_{1}=\angle CB{C}_{1}$$ как вертикальные . Треугольники равны, равны их гипотенузы $$ AB=CB$$. Треугольник $$ ABC$$ – равнобедренный.
3. Случай равенства двух высот равнобедренного треугольника, одна из которых внутри треугольника, другая – вне треугольника, невозможен. Действительно, если $$ B{B}_{1}=A{A}_{1}=h$$ (рис. 12в), то $$ △A{A}_{1}B=△B{B}_{1}A$$ по гипотенузе (у них общая $$ AB$$) и катету $$ A{A}_{1}=B{B}_{1}$$. Тогда $$ \angle BA{A}_{1}=\angle AB{B}_{1}$$ (обозначен $$ \alpha $$ ), т. е. накрест лежащие углы при секущей $$ AB$$ равны и прямые $$ A{A}_{1}$$ и $$ {B}_{1}B$$ параллельны, что неверно.
4. Если угол $$ B$$ – прямой, то высоты из вершин $$ A$$ и $$ C$$ совпадают с катетами $$ AB$$ и $$ CB$$. 
При равных высотах равны и катеты, треугольник $$ ABC$$ – равнобедренный. 

Доказать, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Решение

Точка $$ M$$ – середина гипотенузы $$ AB$$ прямоугольного треугольника $$ ABC$$ (рис. 13). Проведём через точку $$ M$$ прямую $$ MK\perp AC$$.

Из $$ BC\perp AC$$ и $$ MK\perp AC$$ следует $$ BC\parallel MK$$.

Из параллельности прямых $$ BC$$ и $$ MK$$ и равенства отрезков $$ BM$$ и $$ MA$$ по теореме Фалеса следует $$ CK=KA$$.

В прямоугольных треугольниках $$ CMK$$ и $$ AMK$$ катет $$ MK$$ общий и, как установили, равны катеты $$ CK$$ и $$ AK$$. Эти треугольники равны, значит, равны и их гипотенузы, т. е. $$ CM=AM$$, или $$ CM={\displaystyle \frac{1}{2}}AB$$.

Дополнение. Для многих учащихся при решении задач возникает проблема: с чего начать? С рисунка! В геометрической задаче очень важен рисунок, он должен отвечать условиям задачи, быть наглядной формой их записи.

Например, в задаче рассматривается равнобедренный треугольник. Его можно нарисовать по-разному (рис. 14а и 14б), поэтому сначала рисуют на черновике, от руки, и из других условий определяют вид треугольника.

Если сказано, что один отрезок в два раза длиннее другого, – отразите это на рисунке; если какие-то прямые параллельны – так и рисуйте, т. е. после таких рассмотрений делаете чёткий хороший рисунок, отвечающий условиям задачи.

Хороший рисунок – помощник в решении, особенно если на нём Вы отмечаете равные углы, перпендикулярность отрезков, отношение длин и т. п. и ставите данные задачи. Посмотрите, например, на рис. 7, 8, 11 и подумайте, как рисунок помогает в решении.

В треугольнике $$ ABC$$ медиана $$ BM$$ перпендикулярна биссектрисе $$ AD$$. Найти длину стороны $$ AB$$, если $$ AC=6$$.

Решение

△ 1. Подумаем, как построить рисунок. Возьмём луч $$ AK$$ (рис. 15) и отложим от точки $$ A$$ какие-то равные углы (т. е. считаем, что биссектриса $$ AD$$ лежит на этом луче).

Выберем точку $$ B$$, проведём через точку $$ B$$ прямую, перпендикулярно $$ AK$$ и отметим точку $$ M$$, $$ BM$$ – медиана, поэтому отложим отрезок $$ MC=MA$$. Треугольник $$ ABC$$ – тот, что нужен: $$ AD$$ – биссектриса, $$ BM$$ – медиана, $$ AD\perp BM$$.

2. Решение очевидно: $$ △ABO=△AMO$$ (по катету и острому углу), значит $$ AB=AM$$ и $$ AC=2AM=2AB$$. Зная, что $$ AC=6$$, находим $$ AB=3$$. 

Равнобедренный треугольник — математический путь

Равнобедренный треугольник представляет собой многоугольник из трех сторон и двух равных сторон . Другая неравная сторона называется основанием треугольника.

Следовательно, два угла также будут равными (α), а другие — разными (β), т.е. это угол, образованный двумя равными сторонами ( a ).

Двумя частными случаями равнобедренных треугольников являются равносторонний треугольник и равнобедренный прямоугольный треугольник .

Высота равнобедренного треугольника

Высота ( h ) равнобедренного треугольника (или высота ) может быть вычислена по теореме Пифагора. Стороны a , b / 2 и h образуют прямоугольный треугольник. Стороны b / 2 и h являются катетами, а и — гипотенузами.

По теореме Пифагора:

И получается, что высота h составляет:

В равнобедренном треугольнике высота , соответствующая основанию ( b ), также является биссектрисой угла, серединным перпендикуляром и серединой.

Площадь равнобедренного треугольника вычисляется из основания b (неповторяющаяся сторона) и высоты ( h ) треугольника, соответствующего основанию. Площадь является произведением базы и высоты, разделенной на два, и ее формула следующая:

.

Периметр равнобедренного треугольника получается сложением трех сторон треугольника.Имея две равные стороны, периметр равен удвоенной повторяющейся стороне ( a ) плюс другая сторона ( b ).

Если повторяющаяся сторона ( a ) и угол двух равных сторон известны, другая сторона ( b ) должна быть найдена по закону косинусов .

Загрузите этот калькулятор , чтобы получить результаты формул на этой странице. Выберите исходные данные и введите их в верхнем левом поле. Для получения результатов нажмите ENTER.

Triangle-total.rar или Triangle-total.exe

Примечание. Предоставлено автором: Хосе Мария Пареха Маркано . Химик. Севилья, испания.

Решенные упражнения

Упражнение в области равнобедренного треугольника

Определите площадь равнобедренного треугольника , зная его две равные стороны ( a = 3 см) и неравную, длина которой составляет 2 см ( b = 2 см).

Каков его район ?

Рассчитайте площадь по приведенной выше формуле, умножив основание на высоту:

Площадь равнобедренного треугольника равна 2.83 см ² .

Упражнение по периметру равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник с двумя равными сторонами, a = 3 см, а другая сторона b = 2 см.

Каков его периметр ?

Чтобы вычислить периметра , мы добавляем повторяющуюся сторону, умноженную на два, плюс неравную сторону, то есть:

Получается, что периметр равнобедренного треугольника равен 8 см .

Упражнение на высоту равнобедренного треугольника

Найдите стороны и периметр равнобедренного треугольника, высота которого относительно неровной стороны составляет h = 6 см, а противоположный угол, также неровный, 40 °.

Найдено с помощью тригонометрических соотношений из одного прямоугольного треугольника, на который делится равнобедренный треугольник по высоте h .

Отрезок, противоположный углу β / 2, который является отрезком b /2, мы нашли его через касательную:

Сторона b меры 4.36 см.

Образуется гипотенуза прямоугольного треугольника, то есть сторона и находится по косинусу:

Сторона и имеет размер 6,38 см.

Наконец, периметр треугольника составит:

Получается, что периметр этого равнобедренного треугольника будет составлять 17,12 см.

Равнобедренный треугольник

Треугольник с двумя сторонами равной длины называется равнобедренным треугольником.

Введение

На английском языке слово «равнобедренный» означает две стороны равной длины.

Геометрически треугольник образован соединением концов трех отрезков прямой. В некоторых треугольниках длины любых двух сторон могут быть одинаковыми. Следовательно, к треугольнику добавлено слово «равнобедренный» для обозначения таких треугольников, в которых длины двух сторон равны. Следовательно, треугольники называются в геометрии равнобедренными треугольниками.

Равнобедренный треугольник представлен графически путем проведения одной и двух небольших перпендикулярных линий к сторонам треугольника в их средних точках.

Из-за свойства равенства сторон в равнобедренном треугольнике два внутренних угла любого равнобедренного треугольника равны.

Строительство

Давайте узнаем, как построить равнобедренный треугольник и полезно изучить его свойства.

1. Нарисуйте отрезок линии от точки $ C $ до $ D $ по горизонтали с помощью линейки. Здесь длина горизонтального отрезка $ 9 \, см $.
2. Установите расстояние между острием и острием карандаша циркуля на некоторую длину с помощью линейки.В данном случае он равен $ 7 \, cm $. Затем нарисуйте дугу на плоскости из точки $ C $.
3. Аналогичным образом нарисуйте циркулем из точки $ D $ другую дугу той же длины, но она должна пересекать ранее нарисованную дугу, чтобы завершить построение равнобедренного треугольника.

Таким образом, треугольник можно построить геометрически за три простых шага, и в математике он выражается просто как $ \ Delta ECD $.

Недвижимость

Свойства равнобедренного треугольника можно изучить из построенного выше треугольника.

Стороны

Теперь перечислите длины всех трех сторон треугольника $ ECD $.

$ (1). \, \, \, $ Длина стороны $ \ overline {CD} $ равна $ CD \, = \, 9 \, см $

$ (2). \, \, \, $ Длина стороны $ \ overline {CE} $ равна $ CE \, = \, 7 \, cm $

$ (3). \, \, \, $ Длина стороны $ \ overline {DE} $ равна $ DE \, = \, 7 \, см $

В $ \ Delta ECD $ длины двух сторон равны, но длина третьей стороны различна. Следовательно, треугольник геометрически называется равнобедренным треугольником.° $

Понятно, что два угла равны, но третий угол различен.

$ \ следовательно \, \, \, \, \, \, $ $ \ angle CED $ $ \, \ ne \, $ $ \ angle ECD $ $ \, = \, $ $ \ angle CDE $

Что такое равнобедренный треугольник? — [Определение, факты и пример]

Что такое равнобедренный треугольник?

Треугольник с двумя сторонами равной длины является равнобедренным треугольником. Две равные стороны равнобедренного треугольника известны как «ноги», тогда как третья или неравная сторона известна как «основание».

В равнобедренном треугольнике углы, противоположные равным сторонам, всегда равны. В данном равнобедренном треугольнике, если AB = AC, то ∠B = ∠C

Вот несколько примеров равнобедренного треугольника:

Примеры из жизни

Многие вещи в мире имеют форму равнобедренного треугольника. Некоторые популярные примеры равнобедренного треугольника в реальной жизни — кусок пиццы, пара серег.

Без примеров

Общая недвижимость

• Равные стороны равнобедренного треугольника известны как «ноги».

• Третья и неравная сторона равнобедренного треугольника известна как «основание».

• Угол, образованный двумя равными сторонами равнобедренного треугольника, известен как «угол при вершине».

• Углы, составляющие основу равнобедренного треугольника, известны как «углы основания».’

• Углы, расположенные напротив равных сторон равнобедренного треугольника, всегда равны.

• Все три угла, расположенные внутри равнобедренного треугольника, являются острыми, что означает, что углы меньше 90 °.

• Сумма трех углов равнобедренного треугольника всегда равна 180 °, что означает, что мы можем определить третий угол треугольника, если известны два угла равнобедренного треугольника.

Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого есть как минимум две стороны равной длины. На рисунке ниже приведены два примера.

AB≅AC

Части равнобедренного треугольника

Для равнобедренного треугольника только с двумя конгруэнтными сторонами конгруэнтные стороны называются катетами. Третья сторона называется базой. Угол, противоположный основанию, называется углом при вершине, а углы, противоположные ногам, называются углами основания.

Длины равнобедренного треугольника

Высота равнобедренного треугольника — это отрезок перпендикулярной линии, проведенный от основания треугольника к противоположной вершине.

Используя теорему Пифагора, мы можем найти, что основание, катеты и высота равнобедренного треугольника имеют следующие отношения:

Углы основания равнобедренного треугольника

Углы основания равнобедренного треугольника одинаковы по мере. См. Треугольник ABC ниже.

AB ≅AC, значит, треугольник ABC равнобедренный. ABC можно разделить на два равных треугольника, нарисовав отрезок AD, который также является высотой треугольника ABC.

Используя теорему Пифагора, где l — длина ног,. Исходя из этого, ADB≅ △ ADC по теореме Side-Side-Side для конгруэнтных треугольников, поскольку BD ≅CD, AB ≅ AC и AD ≅AD. Итак, ∠B≅∠C, поскольку соответствующие части конгруэнтных треугольников также конгруэнтны.

Симметрия в равнобедренном треугольнике

Высота равнобедренного треугольника также является линией симметрии.

Участок AB отражается на высоте AD в участок AC. Точно так же нога AC отражается в ногу AB.База BC отражается сама на себя, когда отражается на высоте.

45-45-90 треугольников

Когда углы основания равнобедренного треугольника составляют 45 °, треугольник представляет собой специальный треугольник, называемый треугольником 45 ° -45 ° -90 °. Длина основания, называемого гипотенузой треугольника, умножена на длину его катета.

Апофема правильного многоугольника

Апофема правильного многоугольника — это также высота равнобедренного треугольника, образованного центром и стороной многоугольника, как показано на рисунке ниже.

Для правильного пятиугольника ABCDE выше высота равнобедренного треугольника BCG является апофемой многоугольника.

равнобедренных треугольников — Бесплатная справка по математике

В мире геометрии существует множество типов треугольников. Существует особый треугольник, называемый равнобедренным треугольником и . В равнобедренном треугольнике базовые углы имеют одинаковую степень и, как следствие, равны (конгруэнтны). Точно так же, если два угла треугольника имеют одинаковую длину, тогда стороны , противоположные этим углам, имеют одинаковую длину.Самый простой способ определить равнобедренный треугольник — у него две равные стороны .

В равнобедренном треугольнике есть две стороны, называемые ногами, и третья сторона, называемая основанием. Угол, расположенный напротив основания, называется вершиной.

Образец A:

Угол при вершине B равнобедренного треугольника ABC составляет 120 градусов. Найдите градус каждого базового угла.

Решение:

(1) Пусть x = мера каждого базового угла.
(2) Составьте уравнение и решите относительно x.

базовый угол + базовый угол + 120 градусов = 180 градусов
x + x + 120 градусов = 180 градусов
2х + 120 = 180
2х = 180–120
2х = 60
х = 60/2
х = 30

Каждый угол основания треугольника ABC составляет 30 градусов.

Образец B:

В равнобедренном треугольнике RST угол S — это угол при вершине. Базовые углы R и T равны 64 градусам. Найдите градус угла при вершине S.

Решение:

(1) Пусть x = мера угла при вершине S.
(2) Составьте уравнение и решите относительно x.

базовый угол + базовый угол + угол при вершине S = 180 градусов
64 градуса + 64 градуса + x = 180 градусов
128 + х = 180
х = 180 — 128
х = 52

Угол при вершине S в треугольнике RST составляет 52 градуса.

Образец C:

Угол основания равнобедренного треугольника XYZ в градусах в три раза превышает градус вершины Y на 60.Найдите градус угла при вершине Y. Обратите внимание, что трудно нарисовать картинку, не зная, какие углы наибольшие.

Нам нужно составить уравнение из этой проблемы, поэтому давайте разберемся, что она пытается нам сказать. Сначала мы читаем «Мера базового угла в градусах», поэтому начнем с X =

Наше уравнение на данный момент: X =

Теперь мы видим «превышает в три раза … Y … на 60», что означает 3Y + 60.

Теперь наше уравнение: X = 3Y + 60

Поскольку мы знаем, что X = Z, потому что это равнобедренный треугольник, мы можем найти меры всех углов.

базовый угол + базовый угол + вершина = 180
Х + Y + Z = 180
(3Y + 60) + Y + (3Y + 60) = 180
7лет + 120 = 180
7Y = 60
Y = 60/7
Y = 8,57 градуса

Угол при вершине Y треугольника XYZ равен 8,57 градуса.

Урок, проводимый г-ном Фелизом

Равносторонний и равнобедренный треугольники

На этом уроке геометрии 5-го класса рассматриваются равносторонние, равнобедренные и разносторонние треугольники, а также предлагаются различные упражнения, в том числе рисование. упражнения на эти темы для студентов.

2. Заполните таблицу, классифицируя треугольники, помеченные как (a), (d), (e) и (g) выше как «острый», «правый»,
или «тупые» (по углам), а также как «Равносторонний», «равнобедренный» или «разносторонний» (по бокам).

4.Постройте в координатной сетке острый разносторонний треугольник.

6. а. Нарисуйте разносторонний тупой треугольник, одна сторона которого равна 3 см, а другая — 7 см.
Подсказка: Сначала нарисуйте 7-сантиметровую сторону, затем 3-сантиметровую, образуя любой тупой угол с первая сторона.

г. Измерьте третью сторону.
Сравните свой треугольник с треугольниками одноклассников или нарисуйте другой один себе.
Вы можете нарисовать несколько разно выглядящие треугольники с этой информацией,
или все они идентичны (конгруэнтно)?

7. а. Нарисуйте равнобедренный прямоугольный треугольник, две стороны которого отмерьте 5 см.
Подсказка: сначала нарисуйте прямой угол. Затем отмерьте стороны по 5 см. Затем втяните последняя сторона.

г. Измерьте третью сторону. Это ____________ см.
Сравните свой треугольник с те из ваших одноклассников, или нарисуйте другой один себе.
Вы можете нарисовать несколько разно выглядящие треугольники с этой информацией,
или все они идентичны (конгруэнтно)?

8. а. Нарисуйте любой равнобедренный треугольник.
Подсказка: Нарисуйте любой угол. Затем отмерьте две совпадающие стороны, убедившись, что они такой же длины.
Затем нарисуйте последнюю сторону.

г. Измерьте углы вашего треугольника. Они Измерьте ________ °, ________ ° и ________ °.

Сумма углов равна ________ °.

9. Измерьте все углы в равнобедренные треугольники (а) и (б).
При необходимости продолжите их стороны.

Что ты заметил?

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

10. Угол при A составляет 40 °. Нарисуйте еще один угол 40 ° в точке B, а затем продолжите его стороной
так что вы получите равнобедренный треугольник с углами основания 40 °.

Измерьте верхний угол. Это _______ °. Сумма трех угловых мер составляет _______ °.

11. а. Нарисуйте равнобедренный треугольник с углами при основании 75 °. (Длина стороны могут быть любыми.)
Подсказка: начните с рисования сторона основания (любой длины). Затем нарисуйте углы 75 °.

г. Измерьте верхний угол. Это _______ °.Сумма трех угловых мер составляет _______ °.

г. Сравните ваш треугольник с те из ваших одноклассников, или нарисуйте другой один себе.
Вы можете нарисовать несколько разные на вид треугольники с этой информацией, или все они идентичны?

г. Может ли разносторонний треугольник быть тупым?
Если да, нарисуйте пример. Если нет, объясните Почему нет.

г. Может ли острый треугольник быть разносторонним?
Если да, нарисуйте пример. Если нет, объясните Почему нет.

г. Может ли прямоугольный треугольник быть разносторонним?
Если да, нарисуйте пример.Если нет, объясните Почему нет.

e. Может ли тупой треугольник быть равносторонним?
Если да, нарисуйте пример. Если нет, объясните Почему нет.

Этот урок взят из книги Марии Миллер Math Mammoth Geometry 1 и размещен на сайте www.HomeschoolMath.net с разрешения автора. Авторские права © Мария Миллер.

Как нарисовать прямоугольный равнобедренный треугольник

Выписка

Хорошо, теперь мы рассмотрим, как нарисовать равнобедренный прямоугольный треугольник с помощью черепахи.Этот треугольник равнобедренный, потому что эти две стороны имеют одинаковую длину, и это прямоугольный треугольник, потому что здесь у нас прямой угол.

Давайте поместим нашу черепаху прямо сюда, и пока я не буду ничего рисовать на экране, я просто хочу посмотреть, смогу ли я заставить черепаху следовать по пути этого края.

Итак, я случайно знаю, что в этом конкретном треугольнике 100 шагов с этой стороны и 100 с этой стороны. Итак, старт легкий, я могу просто сказать «вперед 100», и это подводит меня к углу.

Теперь я хочу выяснить, сколько поворота мне нужно здесь сделать. Что ж, давайте на минутку рассмотрим, как мы составляем равнобедренный прямоугольный треугольник.

Если мы посмотрим на этот квадрат, мы увидим, что этот треугольник состоит из квадрата и его диагонали. Ну, эта диагональ разрезает этот угол пополам, не так ли?

Мы знаем, что каждый угол квадрата равен 90 градусам. Если мы разрежем этот угол пополам, у нас будет 45 градусов прямо здесь.

Итак, мы знаем, что этот угол составляет 45 градусов.Сколько нам нужно сделать поворота? Сколько поворота должна сделать черепаха?

Давайте посмотрим на поворот, ладно? В общем, когда мы поворачиваем за угол, вы видите, что мы все еще смотрим в этом направлении, на этот, весь этот угол, если мы возьмем синий угол треугольника вместе с этим маленьким сектором, равным 180 градусам. И мы знаем, что эта маленькая синяя часть здесь, этот маленький угол составляет 45 градусов. Таким образом, общий угол поворота во всем секторе составляет 180 минус 45 или 135 градусов.

Итак, давайте повернем направо на 135 градусов и посмотрим, как это выглядит. Хорошо, похоже, это правильно. Теперь мы должны вычислить длину этой линии прямо здесь, и это немного сложнее. Хм, давайте на минутку подумаем, что нам нужно посмотреть, так это то, что мы начнем с двух квадратов здесь и на минуту подумаем о площади квадратов, а затем все станет ясно через Минуту, почему мы должны беспокоиться об областях. Но мы сказали, что это 100 шагов, на самом деле давайте составим нашу собственную единицу, мы скажем, что это один гектостаг, хорошо, гектометр — это 100 метров, гектостаг — это 100 шагов.Итак, это один гектостаг, поэтому эти квадраты расположены один за другим.

Таким образом, если каждая сторона равна 1, то в целом площадь составляет 1 гектостаг. И эти два квадрата составляют два квадратных гектара.

Теперь давайте на минутку переставим эти кусочки.

Хорошо, мы знаем, что площадь этого квадрата составляет два гектара, потому что площадь этого квадрата — один гектостаг, площадь этого квадрата — один гектостаг в квадрате, так что это должно быть два гектара в квадрате.

Так что это значит о длине этой строки? Длина этой линии, умноженная на длину этой линии, составляет 2 гектостага. Это означает, что одна из этих линий является квадратным корнем из двух гектостадий.А поскольку гектостаг равен 100 шагам, это означает, что мы хотим продвинуться вперед в 100 раз больше квадратного корня из 2.

Так что, если мы будем смотреть на эту черепаху, когда я нажму «Return» и пойдем вперед, мы должны пройти весь путь до другого угла. Давайте посмотрим.

Да, это сработало, хорошо?

Итак, давайте посмотрим. Давайте вернем наш исходный треугольник на место, и теперь мы хотим выяснить, сколько поворота нам нужно сделать с этой стороны. Помните, мы здесь повернулись на 135 градусов.

Давайте посмотрим на этот поворот.Ну, это тоже 45 градусов, поэтому нам нужно сделать поворот на 180 минус 45 или 135 градусов.

Пойдем направо, 135. Выглядит правильно. И теперь мы знали, что это 100 шагов. Когда мы пошли отсюда сюда, это было 100 шагов, и это тоже 100 шагов.

И, наконец, просто чтобы вернуться в исходное состояние, в исходное положение, мы пойдем направо на 90. И на этом все нарисовано.

Так что давайте просто дважды проверим. Мы переместим этого парня сюда и положим ручку.Теперь я просто вернусь и пройду через все шаги, которые мы делали раньше. Мы пошли вперед 100, вправо 135, вперед 100, умноженное на квадратный корень из 2, вправо 135, вперед 100 и вправо 90.

Вот так получается равнобедренный прямоугольный треугольник.